পাঠ ৫: বোর্ড পরীক্ষার গাণিতিক সমস্যা ও অনুধাবনমূলক প্রশ্নব্যাংক - ১ম অধ্যায়: ভৌত রাশি ও পরিমাপ

Q: গাণিতিক সমস্যা টাইপ ৩: শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয়

উদ্দীপক: একটি দণ্ডের প্রকৃত দৈর্ঘ্য $10.0\text{ cm}$। স্লাইড ক্যালিপার্সে পরিমাপ করে দৈর্ঘ্য পাওয়া গেল $10.2\text{ cm}$। প্রশ্ন: পরিমাপে শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটির পরিমাণ কত? সমাধান: পরম ত্রুটি = $|10.0 - 10.2| = 0.2\text{ cm}$ শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি: $$\text{শতকরা ত্রুটি} = \frac{\text{পরম ত্রুটি}}{\text{প্রকৃত মান}} \times 100\% = \frac{0.2}{10.0} \times 100\% = 2\%$$

Q: বোর্ড স্ট্যান্ডার্ড অনুধাবন খ ২: 'ভার্নিয়ার স্কেলের মূল স্কেলের ১৯ ভাগ ভার্নিয়ারের ২০ ভাগের সমান হলে ভার্নিয়ার ধ্রুবক কত?'

উত্তর: প্রধান স্কেলের ১ ভাগের দৈর্ঘ্য $s = 1\text{ mm}$। ভার্নিয়ারের ২০ ভাগ = প্রধান স্কেলের ১৯ ভাগ। ভার্নিয়ারের ১ ভাগ = $\frac{19}{20}\text{ mm} = 0.95\text{ mm}$। অতএব, ভার্নিয়ার ধ্রুবক $VC = 1\text{ mm} - 0.95\text{ mm} = 0.05\text{ mm} = 0.005\text{ cm}$।

৫.১ বোর্ড পরীক্ষার টাইপভিত্তিক গাণিতিক সমস্যা

১ম অধ্যায় থেকে বোর্ড পরীক্ষায় এবং স্কুলের অর্ধবার্ষিক/বার্ষিক পরীক্ষায় নিয়মিত স্লাইড ক্যালিপার্স ও স্ক্রু গজের অঙ্ক আসে। নিচে পরীক্ষায় আসার মতো সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যা ও তাদের সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হলো:

গাণিতিক সমস্যা টাইপ ১: স্লাইড ক্যালিপার্সে দণ্ডের দৈর্ঘ্য ও গোলকের আয়তন

উদ্দীপক: একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ভাগের দৈর্ঘ্য $1\text{ mm}$ এবং ভার্নিয়ার স্কেলের মোট ভাগ সংখ্যা $20$ । একটি গোলকের ব্যাস পরিমাপকালে প্রধান স্কেল পাঠ পাওয়া গেল $3.6\text{ cm}$ এবং ভার্নিয়ার সমপাতন পাওয়া গেল $8$ । গোলকটিতে কোনো যান্ত্রিক ত্রুটি নেই।

প্রশ্ন: গোলকটির ব্যাস এবং আয়তন নির্ণয় করো।

সমাধান:
১. ভার্নিয়ার ধ্রুবক:

VC = \frac{s}{n} = \frac{1\text{ mm}}{20} = 0.05\text{ mm} = 0.005\text{ cm}

২. গোলকের ব্যাস:

D = M + (V \times VC) = 3.6\text{ cm} + (8 \times 0.005\text{ cm}) = 3.6 + 0.04 = 3.64\text{ cm}

৩. গোলকের ব্যাসার্ধ:

r = \frac{D}{2} = \frac{3.64}{2} = 1.82\text{ cm}

৪. গোলকের আয়তন:

V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (1.82)^3 \approx 25.25\text{ cm}^3

গাণিতিক সমস্যা টাইপ ২: স্ক্রু গজের সাহায্যে সরু তারের প্রস্থচ্ছেদ ও আয়তন

উদ্দীপক: একটি স্ক্রু গজের পিচ $0.5\text{ mm}$ এবং বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগ সংখ্যা $50$ । একটি তামার তারের ব্যাস পরিমাপকালে রৈখিক স্কেল পাঠ $2.5\text{ mm}$ এবং বৃত্তাকার স্কেল পাঠ $32$ পাওয়া গেল। তারটির দৈর্ঘ্য $50\text{ cm}$ ।

প্রশ্ন: তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল এবং মোট আয়তন কত?

সমাধান:
১. লঘিষ্ঠ গণন:

LC = \frac{\text{পিচ}}{\text{মোট ভাগ}} = \frac{0.5\text{ mm}}{50} = 0.01\text{ mm}

২. তারের ব্যাস:

D = L + (C \times LC) = 2.5 + (32 \times 0.01) = 2.5 + 0.32 = 2.82\text{ mm} = 0.282\text{ cm}

৩. প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল:

A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{3.1416 \times (2.82)^2}{4} \approx 6.25\text{ mm}^2 = 0.0625\text{ cm}^2

৪. তারের আয়তন (

l = 50\text{ cm}

V = A \times l = 0.0625 \times 50 = 3.125\text{ cm}^3

গাণিতিক সমস্যা টাইপ ৩: শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয়

উদ্দীপক: একটি দণ্ডের প্রকৃত দৈর্ঘ্য $10.0\text{ cm}$ । স্লাইড ক্যালিপার্সে পরিমাপ করে দৈর্ঘ্য পাওয়া গেল $10.2\text{ cm}$ ।

প্রশ্ন: পরিমাপে শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
পরম ত্রুটি = $|10.0 - 10.2| = 0.2\text{ cm}$
শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি:

\text{শতকরা ত্রুটি} = \frac{\text{পরম ত্রুটি}}{\text{প্রকৃত মান}} \times 100\% = \frac{0.2}{10.0} \times 100\% = 2\%

বোর্ড স্ট্যান্ডার্ড অনুধাবন খ ১: 'পদার্থবিজ্ঞানকে সকল বিজ্ঞানের ভিত্তি বলা হয় কেন?'

উত্তর: বিজ্ঞানের অন্যান্য মৌলিক শাখা যেমন রসায়ন, জীববিজ্ঞান, জ্যোতির্বিজ্ঞান এবং ভূতত্ত্বের মূল ভিত্তি হলো পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মসমূহ। পরমাণুর ইলেকট্রনের গঠন ও বন্ধনতত্ত্ব দিয়ে রসায়নের সব বিক্রিয়া ব্যাখ্যা করা হয়; আলোর গতি, মাইক্রোস্কোপ ও অভিস্রবণ দিয়ে জীবদেহের কোষীয় প্রক্রিয়া বোঝা যায়। যেহেতু মহাবিশ্বের যেকোনো প্রাকৃতিক মিথস্ক্রিয়া বোঝার জন্য পদার্থবিজ্ঞানের নীতি অপরিহার্য, তাই পদার্থবিজ্ঞানকে সকল বিজ্ঞানের মৌলিক ভিত্তি বলা হয়।

বোর্ড স্ট্যান্ডার্ড অনুধাবন খ ২: 'ভার্নিয়ার স্কেলের মূল স্কেলের ১৯ ভাগ ভার্নিয়ারের ২০ ভাগের সমান হলে ভার্নিয়ার ধ্রুবক কত?'

উত্তর: প্রধান স্কেলের ১ ভাগের দৈর্ঘ্য

s = 1\text{ mm}

।
ভার্নিয়ারের ২০ ভাগ = প্রধান স্কেলের ১৯ ভাগ।
ভার্নিয়ারের ১ ভাগ =

\frac{19}{20}\text{ mm} = 0.95\text{ mm}

।
অতএব, ভার্নিয়ার ধ্রুবক

VC = 1\text{ mm} - 0.95\text{ mm} = 0.05\text{ mm} = 0.005\text{ cm}

।

পরীক্ষার চূড়ান্ত ফর্মুলা চিটশিট (Formula Cheat Sheet)

স্লাইড ক্যালিপার্স: $VC = \frac{s}{n}$ , $L = M + (V \times VC) \pm e$
স্ক্রু গজ: $LC = \frac{\text{Pitch}}{\text{মোট ভাগ}}$ , $D = L + (C \times LC) \pm e$
গোলকের আয়তন: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi D^3}{6}$
তারের ক্ষেত্রফল: $A = \frac{\pi D^2}{4}$
আপেক্ষিক ত্রুটি: $\frac{\text{পরম ত্রুটি}}{\text{প্রকৃত মান}} \times 100\%$

৫.১ বোর্ড পরীক্ষার টাইপভিত্তিক গাণিতিক সমস্যা